ランダムブール関数が自明な自己同型群を持つ確率はいくらですか?

ブール関数$ f $が与えられれば、S(x)、f( sigma(x))= f(x)} $の自己同型群$ Aut(f)=
{ sigma

$ Pr_f(Aut(f) neq 1)$には既知の境界がありますか?いくつかのグループ$ G $に対して、$ Pr_f(G
leq Aut(f))$という形の量が分かっていますか?

ベストアンサー

はい。あなたの最初の質問には、確率は2倍の指数関数的に速くなります。これは以下のように計算することができる。各パーミュテーション$
pi $に対して、Aut(f)$の$ pi 、つまりすべての$ x in {pi}に対して$ f( pi(x))=
f(x) 0,1 } ^ n $である。 $ {0,1 } ^ n $に作用する$ pi $の軌道を考えてみましょう。 $
pi $は、$ f $の自己同型性であり、$ f $は$ pi $ -orbitsで一定であるということがあります。 $
pi $が自明でない場合は、少なくとも1つの$ [n] $の軌道を持ち、それはシングルトンではないため、少なくとも$ {0,1
} ^ n $の軌道上ではシングルトンではありません。軌道に$ k $の要素があるとします。その軌道上で$ f
$が一定である確率は、正確には$ 2 ^ { – (k-1)} $です。 $ [n] $に作用する$ pi $が固定点$ c_1
$、長さ2 $ c_2 $サイクル(特に$ sum_ {i = 1} ^ n i c_i = n
$)であると仮定します。すると、$ {0,1 } ^ n $の点数は$ pi $で固定されますが、正確には$ 2 ^ {
sum_i c_i} $です。 $ {0,1 } ^ n $の残りの点はすべて、$ pi $の重要な軌道にあります。 $
{0,1 } ^ n $のすべての固定されていない要素がサイズ2の軌道に来るなら、最良の可能性があることに注意してください。 $ M
= 2 ^ n – 2 ^ { sum_i c_i} $の$ Pr(Aut(f)の pi) leq(1/2)^ {M/2}
$が得られます。今、$ M $の下限を求めます。つまり、$ sum_i c_i $の上限が必要です。 $ c_1 = n-2
$と$ c_2 = 1 $、つまり$ sum c_i = n-1 $と$ M = 2 ^ $のときには、$ pi neq
1 $より大きい$ (2)(1)ここで、nは自然数であり、nは自然数であり、 2)^ {2 ^ {n-2}} $。今すぐunion
boundを適用してください:$ | S_n | = n!$なので、$ Pr(はS_n内に が存在します)[ pi neq
1 text {and} pi Aut(f)]) leq n! 2 ^ { – 2 ^ {n-2}} $は、基本的に$
2 ^ {n lg n – 2 ^ {n-2}} から$ n 〜 infty $まで、

任意の与えられた$ G leq S_n
$に対して、同様の推論を使用することができますが、確率は非常に速くゼロになります。

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