グラフ上の確率的目的関数を最大にする硬度を示す

$ n $ verticesと$ m $ edgesを持つグラフ$ G =(V、E)$を考えてみましょう。各頂点$ v_i
$は、確率$ p_i $と確率$ 1-p_i $の値$ 0 $を持つ正の値$ a_i $を取ることができます。

課題は、各エッジにウェイト$ w_e $を割り当てて、 ここで、$ Pr [X_i + X_j geq w_e]
$は、その総和が次のようになる確率を表します。$ Pr {X_i + X_j geq w_e} $は、頂点$ i $と$ j
$がとる値のうち$ w_e $より大きい。これは、$ w_e Pr [X_i + X_j geq
w_e]を最大にするものを選ぶことができるので、$ w_e $の$ 3 $候補値が$ a_i、a_j、a_i
+各エッジに対して$。

付加的な制約は、重み$ w_e $が副次的になる必要があることである。すなわち、任意の2つのエッジ$ e ‘$と$ e “‘
$は”エッジ “$ e $ $ ‘$と$ e’ ‘$は$ e $を作る頂点を含み、それは$ w_e leq w_ {e’} +
w_ {e ”} $を保持します。

$ w_e = a_i + a_j $を代入することができるので、$ p_i = 1
$の確率論的問題の決定論的なバージョンは些細なものであることに注意してください。

この問題はNP-Hard(または#P-Hard?)と強く信じています。私は、各エッジが最大$ 2
$の次数を持つパスグラフのような特殊なグラフでは、補助的な制約の数はグラフのサイズで線形ですが、一般的には多項式時間で行うことができます最適解に関与するエッジの集合を教えてくれるオラクルがありました。最適な重みを見つける線形計画に指数関数的な制約があります。頂点$
i $ごとに$ p_i = p
$なら解くのも簡単です。硬度(またはPTIME)を表示するための潜在的なアプローチの指針は非常に高く評価されます!

編集:問題の背景に興味のある人にとって、これはデータベースクエリの実行に関連しています。各頂点はマテリアライズされたビューであり、各エッジは2つのビューを使用して回答できるクエリを表します。
$ w_e $と$ a_i
$は、クエリの実行をスピードアップするためにビューを具体化するコストとメリットを表すために設定されています。

編集2:私は、2度のパスグラフの私の想定している
“証明”に間違いを感じました。私はそれを別の質問として質問し、一般的な問題を残すためにこの投稿をリンクします。

ベストアンサー
申し訳ありませんが、適切な答えはありません

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