不定単一指数アルゴリズムの同型問題

同型問題にはいくつかの変種があります。

  1. グループ同型は時間で解ける$ n ^ {O( log n)} $
  2. グラフ同型写像は時間内に解くことができます。$ n ^ { log ^ {O(1)} n} $
  3. 線形コードの同型写像は、$ 2 ^ {O(n)} $ …

各$ n $に対して、同型写像は集合$ {1、…、n } $の順列であると仮定する。時間$ 2 ^ {O(n
log n)} $では解けることが知られているが、時間$ 2 ^ {O(n)} $では解けることが知られている、

すべての並べ替えをテストするのに必要な時間にほぼ等しいことに注意してください。

ベストアンサー

順列群の順同型同型性(別名共役)。入力:$ pi_1、 dotsc、 pi_k、 rho_1、 dotsc、
rho_l $の順列の2つのリストDecide:$ gamma langle pi_1、 dotsc、 pi_k
rangle gamma ^ { – 1} = langle rho_1、 dotsc、 rho_ ell
rangle $ここで$ langle dotsc rangle $は$ dotsc
$で生成されたサブグループを表します。最もよく知られている実行時間は$ 2 ^ {O(n)} | G | $( Babai-Codenotti-Qiao無料版 )ここで、置換は$ n $要素と$ G = langle pi_1、
dotsc、 pi_k rangle $の順列です。 $ | G | $は$
n!$と同じくらい大きくすることができるので、最悪の場合、これは$ 2 ^ {O(n log n)} $時間です。 $ 2 ^
{O(n)} $($ | G | $とは無関係)の実行時間はまだ開いています。

B.プライムサイクリック以外のグループのグループコード等価性。グループ$ G $の場合、長さ$ n $の$ G
$コードは、生成セットによって指定された$ G ^ n $のサブグループです。 $ n
$座標に並べ替えを適用した後、2つのそのような$ G
$コードが等価(サブグループとして)になる場合は、同等のです。これは線形コード等価と同じであり、$ 2 ^
{O(n)} $時間で解くことができる(Babai; Babai-Codenotti-G.-Qiao または Codenottiの自由に利用可能な論文)。しかし、たとえ$ G $が$ mathbb
{Z}/p ^ 2 mathbb {Z} $のような非プライム順序の周期的な$ p
$グループであっても、それはまだ開いています。また、時間$ 2 ^ {O(n)} $(単位コストでの$ G $での操作)で周期的な$
p $ -groupsの場合でさえ、アプリケーションを持つでしょう(Observation 7.8 G.-Qiao )。

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