単位距離グラフの色数を決定するのはどれくらい難しいですか?

たとえば、単位距離グラフが3色に対応しているかどうかをNP完結していますか?

ベストアンサー

さて、これは簡単に思える。以下では、単位距離グラフに$ 3
$カラーが付いているかどうかを判断するのがNP困難な理由を説明します。彼らは、距離$ sqrtで$ 2 $の2つの頂点$ u
$と$ v $を3
$で色付けすると、それらからの単位距離にある2つの頂点がグラフにも存在する場合、同じ色になる必要があります。このガジェットを使って、任意のグラフ$
G $の$ 3 $カラー性の決定問題を、以下のように単位距離グラフ$ G ‘$の$ 3
$カラー性の決定問題に変換することができます。

$ G $の頂点を2つが単位距離にないように平面に写像する。長さ$ sqrt 3 $のセグメントと長さ$ 1
$のセグメントで構成されるポリゴンパスで、隣接する2つの頂点を接続します。セグメントの端点を$ G ‘$の頂点に追加し、長さ$
sqrt 3 $のセグメントの端から単位距離の2つの頂点も追加します。 $ G ‘$の頂点の間に追加的な一致がない場合、$ G $が$
3 $ -colorableである場合にのみ、$ G’ $は$ 3 $
-colorableですが、一般的な方法でパスを選ぶことができます。

もう少し注意を払うことで、平面単位距離グラフに制限すると、問題はNP完全であることが示されます。そのためには、 NP-hardでプレーナ最大次数$ 4 $のグラフには$ 3 $色が付いています
$ G $の頂点を平面上に遠くに写像するだけで、前の構造を繰り返すことができます。そして、それぞれのパスは交差しません。
(この削減のためには最大6ドルで十分です。) これは、コイングラフの色数が$
3かどうかを決定することはNP困難であることも証明しています$または$ 4 $です。

同じような構成でも、単位距離グラフが$ 4 $カラーであるかどうかを判断するには、そのがあるのでNP完了です距離$ frac 83 $で指定された2つの頂点を同じ$ 4
$だけ着色する必要があるユニット距離グラフ
です。このガジェットを使用すると、$ frac 83 $は前の構成で$
sqrt 3 $の役割を果たすことができます。

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