ある問題から別の問題へのコンパイルに関するプロパティの証明

AとBの2つの問題があるとします。

Aは正の重みを持つ最短経路問題です

Bは最短経路問題(潜在的に負の重みを持つ)

私は、次のことを示したいと思います:BからAへの写像mはありません。そのため、Bのすべてのインスタンスに対して、m(I_B)の正確な解はI_Bと同じです。

私が知りたいのは、この種の証拠がどこにありますか? このようなことにどのようにアプローチしますか?

ベストアンサー

重みが整数(AとBの両方)であり、mが上でなければならないと仮定しよう。あなたはまた、mは1対1でなければならないと仮定することもできます。あなたが提示した命題はまだ間違っています。

理由は、すべての重み付き有向グラフ(私は、それが重要ではないことをあなたが意味するものと仮定している)がお互いに同形であることです。

Let’s prove: There exists a mapping m : B -> A s.t. for all
instances I_B of B, the solution S(m(I_B)) = S(I_B).

これを示すために、このマッピングmを構築します。さらに、mは双射であることを示します。

すべての有向グラフの集合を分割する。各パーティションには、特定の数のノードNのすべてのグラフと、すべてのソリューションパスが同じであるという意味で、パーティション内のすべてのグラフを同形にする特定のソリューション構造が含まれます。
(Nノードのグラフの各ノードを1からNまでインデックスし、まったく同じインデックスでまったく同じインデックスを含み、両方ともN個のノードを持つ場合、2つのソリューションパスが同一であるとみなす)

このような各パーティションには、各エッジに無限に大きな重みがあるため、無限の基数が存在することに注意してください。
(証明は省略されています。)

したがって、mを構築するには、(B内の)パーティションのすべてのメンバを対応するパーティションの別のメンバ(A内)にマップするだけです。明らかに、Bに余分なグラフが含まれていますが、どちらも自然数の集合と同じ基数を持つすべてのパーティションを持っています。

さて、私たちは、Bの各パーティション内のすべての要素がAの対応するパーティション内の一意の要素にマップされるため、mがバイジェクションであるとします.Bの各パーティションのすべての要素は、Aの各パーティションごとにマップできます。

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