グラフの希薄化と固有空間のグラフ化

私は現在、希薄化剤の固有空間と元の行列との関係についていくつかの主張をすることができるかどうかを理解しようとしています。このコンテキストでは、最初にいくつかのエンティティを定義しましょう。

Definition 1: Partial Ordering Among Matrices:
We say that two commuting matrix $mathbf A,mathbf B$ have a
partial ordering $mathbf A preceq mathbf B$ if the matrix
$mathbf B – mathbf A$ is positive semidefinite, i.e. $vec x^T
(mathbf B – mathbf A) vec x geq 0 $ for all non-zero $vec x$.
Now with this definition we can define an $epsilon$-approximation
of the graph to be $(1- epsilon) mathbf B preceq mathbf A
preceq (1+epsilon) mathbf B$, i.e. $mathbf B$ is an
$epsilon$-approximation of $mathbf A$ (definitions vary here
slightly).

SpielmanとPengは、グラフをスペクトル的にスパースするための最初のアルゴリズムを有名にした。すなわち、グラフは$ G
=(V、E)$で与えられ、アルゴリズムは$ H $を$ ε$スペクトル近似とするグラフ$ H $を返す。 $ G $、平均次数$
mathcal {O}(1/ε^ 2)$(〜希薄)。
次に、これらのスペクトル希薄化器を使用して、例えば、ほぼ線形の時間のラプラシアンシステム(最近、私は線形時間がJoannis
Koutisら、またはB. B. Cohenの周りで実現されたと信じている)。

今私が持っている質問は次のとおりです:
通常、線形システムの解を比較する場合、行列を反転するのではなく、ある種のソートまたは多項式を使用して逆行列を近似します。したがって、(擬似)逆数と多項式の固有空間は同じであり、多項式と逆行列の固有値がすべて$
ε$ -closeであることを簡単に示すことができます。一般的な場合、これはどのように変化するのですか?$ mathbf B
$は$ mathbf A $のスペクトル分散ですか?固有空間間の関係について何か言えますか?

私の考えは、両方の行列の固有値分解を使用して、$ mathbf B $の基底を$ mathbf A
$の基底に投影することでした。しかし、これは私にもっと質的な理解を与えるようには思われません。違いの固有空間を結びつける方法はありますか?最悪の場合、プラスとマイナスの項の和は互いに打ち消しあい、$
mathbf A $と$ mathbf B
$の実際の固有ベクトルの間の(投影からの)かなり広い範囲を許容するように思われるでしょうか?

ベストアンサー

私は固有空間間の距離をどのように測定するのかはわかりませんが、$ A
$の固有値が分かれているという前提をせずにここでは何も言い表すことはできません。たとえば、$ u $と$ v
$を任意の単位ベクトルとし、$ A = I + varepsilon uu ^ intercal $と$ B = I +
varepsilon vv ^ intercal $を定義します。次に$(1 – varepsilon)B preceq
A preceq(1+ varepsilon)B $。しかし、$ A $の先頭の固有ベクトルは$ u $であり、$ B
$の先頭の固有ベクトルは$ v $です。これらは任意であるため、必要なだけ遠く離れていてもかまいません。

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