文脈自由文法のこの一般化は知られており厳格であるか?

$ Sigma $を有限アルファベットとし、$(N、 circ)$をセミグループとする。 $ N
$に対する半グループ演算は、$ mathscr {P}(N)$に拡張することができます:$ N_1 circ N_2:=
{; n_1 circ n_2 ; | ; N_1の n_1 ; N_2 のn_2 ; } $ N_1、N_2
subseteq N $には があります。

定義したい:

    $ S_i subseteqで有限集合$ mathcal {S}:= {S_1、S_2、…、S_k }
    $は$ N $の有限体系と呼ばれます。 {1、..、k } ^ + $の$ w については、準同型$ mathcal
    {S}(w):= S_ {w_1} を持つ。 circ ; … ; circ ; S_ {w |}} $。

  • $ M subseteq mathscr {P}(N)$は有限生成集合を持っています。有限集合$ mathcal
    {S} $が$ N $ならば$ forall m {1、…、| S | }にはw_1、…、w_j が存在します^
    +:m = mathcal {S}(w_1); カップ; … ; カップ; mathcal
    {S}(w_j)$

同等の定義は次のとおりです。

  • 半期的な$ R:=( mathscr {P}(N)、 cup、 circ)$を考えてみましょう。 集合$ M
    subseteq R $は、有限集合$ S subseteq R $がある場合に有限生成集合を持ち、$ S $を含む$ R
    $のすべての部分集合も$ M $を含むようにする。

形式言語に適用:

  • $ w ^ { – 1} L:= {; v ; | ; L でのwv ; Sigma ^ * $と
    Sigma ^ * $の L subseteq
  • 言語$ L subseteq Sigma ^ * $は有限生成集合iff $ M_L:= {; w ^ { –
    1} L ; | ; Sigma ^ * ; } $は有限生成集合を持っています。

明らかに、すべての文脈自由言語は有限生成集合を有する。有限生成セットを持たない言語もあります。 $ L_1:= {; w
#v ; | ; v、 Sigma ^ *、; v not in w ^ * ; } $です。これは、その$
M_1:= {; mathbb {N} _0 setminus k mathbb {N} ; | ; k
in mathbb {N} ; } $には有限生成集合がありません。

$ Sigma = {a、b } $と$ L subseteq Sigma ^ * $については、$ w ^
{ – 1} L = {a } circ(wa)^ { 1} L ; カップ; {b } circ(wb)^
{ – 1} L $。

楽しい事実として、上の定義から$ j $を$ 1 $に制限し、M: varepsilon mathscr
{}内のすべてのm に対して無限集合$ M subseteq mathscr {P}( Sigma
^有限生成集合を持つm $であれば、M、中に$ m_1、m_2 を常に見つけることができます。 m_1 neq m_2
$だから$ m_1 subseteq m_2 $です。これは、$ {1、…、| mathcal {S} | } ^
* $は準準順序です。

誰か知ってる?

  • この文脈自由言語の一般化が検討されているかどうか?
  • 文脈自由ではないが有限生成セットを持つ言語の例?
  • 用語の改善?

有限生成集合を持つ言語は文脈自由文法よりも強力であることは明らかです(有限システムの要素は決定可能でなくても構いません)が、逆の例を構築することはできませんでした。

しかし、$ M_L $自体が有限であれば、$ L $は規則的であり、$ M_L $の集合は決定可能です。

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ベストアンサー

あなたの質問に対する答えは[1]の定理3.1にあり、Wechler
[2]に与えられていると思います。代数は、左の商で閉じている場合は安定します。

有限生成言語に属する言語は文脈自由です   安定な代数。

[1] Berstel、J。 Boasson、L. 文脈自由言語の代数理論に向けて a>。
基金インフォメーション 25 (1996)、いいえ。 3-4,217-239頁。

[2] Wechler、Wolfgang。有理および代数級級数の特徴付け RAIRO Inform。
Théor。
17 (1983)、いいえ。 1,3-11。

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