自然数以外の集合に計算可能性の概念がありますか?

自然数以外の集合に計算可能性の概念がありますか?議論のために、$ mathbb {N} $でbijectする$ S
$を設定しましょう。

「はい、彼らは$ g circ f circ g ^ { – 1} $の形の関数です。ここで、$ g $はS $と$ f
$に対する任意の帰納法$ mathbb {N} です。任意の計算可能な関数$ mathbb {N} から mathbb
{N} $ “に変換します。私はこの定義に2つの理由から慎重です。

  1. It privileges $mathbb{N}$ over other countable sets. Why is
    $mathbb{N}$ special when it comes to defining computability? I’d
    like a “coordinate free” definition of computability without
    reference to any privileged set in the same way I might like a
    “coordinate free” definition of a linear algebra concept without
    reference to any privileged basis.

  2. It raises questions about the choice of $g$. I suspect it may be
    possible to find contradictions by particularly pathological
    choices of $S$ and $g$. For example if I choose $S = mathbb{N}$
    and $g$ some non-computable bijection is it really the case that $g
    circ f circ g^{-1}$ is computable for all computable $f$?

    It’s tempting to require in the definition that $g$ be
    computable but unfortunately that’s begging the question.

$ mathbb {N} $以外の計算可能な集合に計算能力を記述する一般的な方法はありますか?

ベストアンサー

この質問は研究レベルではありませんが、回答を受け取っているので、実際に少しはっきりさせて参考にしてくれる回答を提供したいと思います。

解析、代数、トポロジーの計算能力を研究する理論的計算機科学の領域があります。中央のインパラタンスは、実数に対する計算能力の概念です。事実、チューリングのチューリングマシンに関するオリジナルの論文は、次の文で始まります。

「計算可能な」数字は、小数の表現が有限の手段で計算できる実数として簡単に記述できます。

時にはソースに戻ることができます。

一般的な集合に対して計算可能性を設定するにはいくつかの方法がありますが、最も一般的なものの1つは成熟度理論<
a>。実現可能性理論の考え方は、1945年のKleeneの論文「
直観主義数理論の解釈について」それ以来、一般化され、カテゴリ理論の良い混合物で、計算能力のミニブランチに発展しました。例えば、Jaap
van Oostenの本「Realizability:そのカテゴリーの側面への導入」(論理学と数学の基礎vol
152、Elsevier、2008)。

実現可能性の考え方を簡単に説明し、後であなたの「無償」要件について話し合うことにしましょう。チューリングマシン、$
lambda $ -calculus、プログラミング言語、その他の

(「計算のモデル」となるためには、ある種のトポロジカルな空間をとることさえできますが、これは一般的です)。具体的には、チューリングマシンを考えてみましょう。私たちは自然数でチューリングマシンをコードしますが、他の計算モデルをとっている可能性があるので、$
mathbb {N} $の使用はここでは必須ではないことを
(他の可能性としては、自然数のパワーセット、自然数の無限シーケンス、型なしの$ lambda $
-calculusの構文、特定のゲームカテゴリなどがあります)

集合$ X $の計算可能性構造は、$ mathbb {N} $と$ X $の間の関係$ Vdash_X
$によって実現され、これは現実性関係 $ n Vdash_X x $のように、$ n in mathbb
{N} $にあります。このような構造体をアセンブリと呼んでいますアセンブリ。この定義は、データ$ n $がX
$の要素$ x を再提示するか実現するという直感的な考え方に直接対応しています。
(例えば、ビットの特定のシーケンスは、文字列のペアの有限リストを表す)。

2つのアセンブリ$(X、{ Vdash_X})$と$(Y、{ Vdash_Y})$が与えられていると、マップ$ f:X
〜Y $は実現(または “計算可能”) $ n Vdash_X x $のときはいつでも$
T(n)$が終了し、$ T(n) Vdash_Y f(x)$のようなチューリングマシン$ T $が存在するならば、これは抽象関数$
f $を “プログラム”するために非形式的に意味するものを直接音訳したものです。対応するチューリングマシンは$ f
$が対応する要素にどのようなデータでも表現します。

アセンブリは、現実化の可能性に拡張することができます。
toposは、高次の直観主義的数学のモデルです。これは、すべての実現可能性topos(各計算モデルに1つずつあります)には、興味深いオブジェクトがたくさん含まれていることがわかります。例えば、実数のオブジェクトを含んでいるので、実数に対して計算能力を与えます。しかし、ヒルベルト空間、バナナ空間、滑らかな地図の空間など、他の多くのオブジェクトも含まれています。あなたは他の計算可能な構造を求めましたが、計算能力の数学的な世界全体が非常に優れています。

カテゴリ理論と目的は恐ろしいものであり、計算可能性理論、カテゴリ理論、論理においてある程度の技術的能力を必要とするので、我々はただ一つの具体的なtoposで働くこともできるが、すべてを抽象的な方法で具体的に表現する。特に優れた計算の世界は、Kleeneの関数の実現可能性から生まれ、計算可能な分析を行います。

私は “自由な座標”の要件についてコメントしましょう:

  • 計算モデルを切り替えることで、さまざまな種類の計算可能な世界が得られます。これは、異なる種類の線形代数を与える異なるフィールド間の切り替えのようなビットです。

  • セット$ X $には、多くの基底を持つベクトルのように多くの計算構造$ Vdash_X
    $を装備することができます。しかし、すべての基底が等価であるにもかかわらず、$ X
    $のすべての計算構造が計算上同等であるわけではありません。

  • 計算可能構造体$(X、{
    Vdash_X})$を使って具体的に作業すると、線形代数の行列を扱うのと少し似ています。非常に便利ですが、抽象的ではありません。

  • 我々は、「世界のない」方法で作業することもできます:直観主義論理で数学を発展させ、

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