量子ランダムウォークの解析を改善する

テストグループのコミットメントの量子複雑度の論文は、特定のグループが可換性。グループは特定のオラクルを介して与えられ、問題の複雑さはこのオラクルに対する量子クエリの数によって測定されます。この論文では、この問題のアルゴリズムと、$
O(k ^ {2/3} log k)$の上限を与えるこのアルゴリズムの解析を示します。

私は彼らのアルゴリズムの分析が$ O(k ^ {2/3} log ^ {2/3}
k)$の上限を与えるように改善できると思います。

それらの量子アルゴリズムは、以下のグラフ上で量子ランダムウォークを使用する。頂点は、サイズ$ k
$の宇宙からの別個の要素を含む$ ell $タプルです。 2つの頂点が

  1. それらのハミング距離は1または
  2. それらの間のハミング距離は2であり、それらが異なる2つの位置の要素(頂点の1つにある)を交換した後、それらの間のハミング距離は0である(すなわち、それらは同じ頂点である)。

第2のタイプのエッジの例については、$ k = ell = 3
$と考える。頂点$(1、2、3)$と$(1,3,2)$はこのようなエッジで結ばれます。

与えられた自然数$ k $と$ ell $に対して$ G(k、 ell)$はこのグラフをパラメータ$ k $と$
ell $で表します。この論文の分析は、$ G(k、 ell)$の絶対スペクトルギャップが$ オメガ( frac {1} {
ell log ell})$であることを示しています。私はこの絶対的なスペクトルギャップの分析が$ オメガ( frac
{1} { ell})$に改善できると思います。

Conjecture The absolute spectral gap of $G(k, ell)$ with $k ge
3$, $ell ge 2$, and $k > ell + 1$ is
$Omega(frac{1}{ell})$.

この推測は、アルゴリズムの複雑さが$ O(k ^ {2/3} log ^ {2/3} k)$であることを意味します。

私はこの想いが真実であるべきであるという “気持ち”に加えて、$ k $と$ \ $ 8 $と$ $ $ 6
$との19組(小組)私はこれらの小さなグラフのスペクトルを計算し、それらのスペクトルに基づいて関連する固有値のパターンを推測してから、(簡単に)上記の推測が正しいことを示しました。

誰もこの推測を証明する方法を知っていますか?

ベストアンサー
申し訳ありませんが、適切な答えはありません

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