不平等の期待への応用

let $ Vert cdot Vert $は$ R ^ n $のノルムです。 $ x_1、 dots、x_N
$非独立のRademacher確率変数確率変数($ {-1,1 } $で一様な変数)を与えます。 。 $ E
$は期待値を表します。 $ p、q $にのみ依存する定数$ A_ {p、q} $が存在し、R ^ n $の任意のベクトル$ u_1、
dots、u_N $$ left( left vert sum_ {i = 1} ^ N_iu_i right
Vert p right)^ frac {1} {p} leq A_ {p、q} E left Vert
sum_ {i = 1} ^ N x_iu_i right Vert ^ {q} right)^ { frac
1q}、 $$ [1、 infty] $のすべての$ p、q に対して。 これはいわゆるカハネの不平等と呼ばれている。

この不平等の可能性のあるアプリケーションは何ですか?

ベストアンサー

I don’t think the claim is correct. Take $n=1$ (so the norm is
just absolute value), $N=1$, and $u_1=1$. Let $X$ be any random
variable with a finite first moment and infinite second moment
(i.e., $E|X|=m<infty$ while $E|X|^2=infty$; one such example
is the Pareto family
https://math.stackexchange.com/questions/236181/example-of-a-general-random-variable-with-finite-mean-but-infinite-variance

). The claim would imply a finite $A_2$ for which $E|X|^2le A_2^2
m^2$, which cannot be true.

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