# 条件付き独立のための完全で有限の公理スキームはありますか？ （グラフィックス）

Note: This is a better-written version of an
.

そうであれば、確率論だけの知識を持ち、数学的論理の知識がない人には理解できる方法で公理スキームを記述した参照があるのだろうか？

\$ newcommand independent { perp
、！、！、！、！、！、！、

Background: Judea Pearl at the Computer Science
department at UCLA and co-workers found a complete and finite
axiomatization of (unconditional) probabilistic independence
in
the 1990’s and then began to look for a complete and finite
axiomatization of conditional independence. However, Studeny showed
in 1992 [1][2] that no such complete and finite
axiomatization exists.

An aspect of Studeny’s 1992 paper which is less often emphasized
is that it also claims to give a complete axiom scheme for
conditional probability. Since the paper is written using very
abstract mathematical logic, I don’t understand what the axiom
scheme is supposed to be. Wolfgang Spohn wrote [1][2] about the result and gives what
is a somewhat more transparent description of the axiom scheme, but
the organization of his paper is unclear to me, as is the notation
at times. Seth Sullivant appears to have written about
a similar issue
, which may have allowed me to understand at
least one part of the axiom scheme. Attempting to interpolate
between those three papers, this may be what a complete and finite
axiom scheme for conditional probability looks like (please note
that the the \$U\$’s, \$V\$’s, \$W\$’s, \$X\$’s, \$tilde{X}\$’s, \$Y\$’s, and
\$tilde{Y}\$’s are all supposed to denote random variables):

1. \$\$ {X_1、ドット、X_k } 独立 {Y_1、 dots、Y_l } | {W_1、
dots、W_m } \$\$ \$\$ iff {Y_1、 dots、Y_l } independent {X_1、
dots、X_k } | {W_1 dots W_m } \$\$
2. \$\$ {V_1、 dots、V_j } independent emptyset | {W_1、
dots、W_m } \$\$
3. \$\$ {V_1、 dots、V_j } independent {X_1、 dots、X_k }
cup {Y_1、 dots、Y_l } | {W_1、 dots、W_m } \$\$ \$\$ implies
{V_1、 dots、V_j } independent {X_1、 dots、X_k } | {W_1、
dots、W_m } \$\$
4. \$\$ {V_1、 dots、V_j } independent {X_1、 dots、X_k }
cup {Y_1、 dots、Y_l } | {W_1、 dots、W_m } \$\$ \$\$ implies
{V_1、 dots、V_j } independent {X_1、 dots、X_k } | {Y_1、
dots、Y_l } cup {W_1、 dots、W_m } \$\$
5. \$\$ {V_1、 dots、V_j } independent {X_1、 dots、X_k } |
{W_1、 dots、W_m } \$\$ \$\$ text {and} {V_1、 dots、V_j }
independent {Y_1、 dots、 Y_l } | {W_1、 dots、W_m } \$\$ \$\$
implies {V_1、ドット、V_j } 独立 {X_1、ドット、X_k } cup {Y_1、
dots、Y_l } | {W_1、 dots、W_m } \$\$
6. 厳密に正の確率尺度、すなわち\$ mathbb {P}（A）= 0 iff A = emptyset \$の場合、\$\$
{V_1、 dots、V_j } independent {X_1 、 dots、X_k } | {W_1、
dots、W_m } \$\$ \$\$ text {and} {V_1、 dots、V_j } independent
{Y_1、 dots、 Y_l } | {X_1、 dots、X_k } {X_1、 dots、X_k }
cup {W_1、 dots、W_m } \$\$ \$\$ cup {Y_1、 dots、Y_l } |
{W_1、 dots、W_m } \$\$
7. \$ U \$が2つの値しか取らないRVの場合、たとえばX’k } independent {Y_1、
dots、Y_l } text {and} {X_1、 dots、X_k } dots、Y_l } | X_k
} 独立 {Y_1、点、Y_l } テキスト{または} {X_1、点、X_k } 独立 {Y_1、
dots、Y_l } cup U \$\$
8. \$\$ {X_1、ドット、X_k } 独立 {チルド{X} _1、ドット、ティルド{X} _
{チルド{k}} } , {Y_1 { tilde {Y} _ }、 dots、 tilde {Y} _ {
tilde {1}} {X_1、 dots、X_k } , \$\$\$\$ {Y_1、ドット、Y_l } 独立
{チルド{Y} _1、ドット、ティルド{Y} _ {ティルド{l}} } | { tilde {X} _1、
dots、 tilde {X} _ { tilde {k}} } , text {and} \$\$ \$\$ {X_1、
dots、X_k } 独立した {チルド{X} _1、ドット、ティルド{X} _ {チルダ{k}} } |
{Y_1、 dots、Y_l } cup { tilde {Y} _1、ドット、ティルド{Y} _
{チルド{1}} } \$\$ \$\$ iff {Y_1、 {X_1、 dots、X_k } independent

{\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\
{ tilde {X} _1、 dots、 tilde {X} _ { tilde {k}} } | {Y_1、
dots、Y_l } , \$ X \$ {X_1、ドット、X_k } 独立 {チルダ{X}
_1、ドット、ティルド{X} {k}} } | { tilde {Y} _1、 dots、 tilde {Y} _
{ tilde {1}} } , text {and} \$\$ \$\$ {Y_1、 dots、Y_l } 独立した
{チルド{Y} _1、ドット、チルド{Y} _l } | {X_1、ドット、ティルド{X} _k } \$\$

9. {Y_1、 dots、Y_l }厳密に正の確率尺度の場合、つまり、\$ mathbb {P}（A）= 0 iff A =
emptyset \$の場合、 独立 {チルド{Y} _1、ドット、チルド{Y} _ {チルド{1}} | cup
{W_1、 dots、W_m
\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\
\$ {X_1
\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\
\$\$\$다음중임의의3개는네번째를의미한다。チルダ{k}} } | {W_1、 dots、W_m } , \$ X \$
{X_1、ドット、X_k } 独立 {チルダ{X} _1、ドット、ティルド{X} {k}} } | {Y_1、
dots、Y_l } cup {W_1、点、W_m } , \$\$ \$\$ {X_1、点、X_k } 独立
{チルダ{X} ドット、ティルド{X} _ {ティルド{k}} } | {\\\\\\\\
\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\
ドット{X} _ {ティルド{k}} } | ドット、X_k } cup {W_1、 dots、W_m
\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\
} 、。 \$\$

10. 1992年にStudenyが示したように、理論的には公理ではなく、公理ではない\$ n ge 4
\$に対して、これらはすべて\$ n \$ごとに論理的に独立しているため、独立したX_2 | X_3 , X_2
independent X_3 | X_ {n-1} 独立X_n | X_1 , X_n 独立X_1 | X_2 \$\$ \$\$
iff X_1 独立X_3 | X_2 , X_2 independent X_4 | X_3 ,
dots、X_ {n-1} 独立X_1 | X_n , X_n 独立X_2 | X_1 、。\$\$
ベストアンサー