サバイバルのテスト

アメリカのTVシリーズサバイバーでは、一度、参加者がAとBの2つのチームに分かれたゲームが行われました。最後の旗を取り除いたチームが勝者と宣言されました。
、各試行で2つまたは3つのフラグが最初に開始されます。また、1チームが勝利する機会がない場合は、常に最大数のフラグを選択します。

最適なプレーが想定される場合、どのチームが勝つのですか? $ n
$フラグがある場合はどうなりますか?

Bonus question: What will happen if we increase the
number of teams to 3? How will the winning chances of A and B be
affected?

ベストアンサー

最初の質問に対するよく知られている答えは次のとおりです。

2人目のプレーヤーは、両方のプレーヤーの動きの合計が4になるように常に移動することができます。したがって、$ n = 4k
$の場合、最初のチームは失われ、他のすべての$ n $の最初のチームは、
4と勝利。特に、25個のフラグと最適なプレーのために、チームAは1個のフラグを除去して勝ちます。

誰も修正ボーナスにまだ答えなかったので:

First, note that who wins in any given position is determined by
who wins in the positions with 1,2 or 3 less flags (since A will
choose his move based on this). If A can move and leave a position
in which the third player wins, they will do so, otherwise they
will remove 3.

– For $1 le n le 3$, A wins.
– For $4 le n le 6$, A can’t move to a C-winning position, so A
removes 3 and B wins.
– For $n = 7$, C wins. A still can’t win, and leaves 4 to B, who
has to hand the win to C.
– For $8 le n le 10$, A moves to the C-position 7 and wins.

The winners for $1 le n le 3$ and $8 le n le 10$ are the same,
so we have reached a cycle. In this case, A wins for $n in {7k +
1,7k+2,7k+3}$, B wins for $n in {7k+4,7k+5,7k+6}$ and C wins
for $n=7k$.

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