浴室の四角で個人的に攻撃された

さて、これはちょっと混乱しています!

あなたの浴室は、$ xn、$ yn $の大きさの四角い床空間を持ちます。$ x、y、n
$はすべて正の整数で、黄色と紫色の荒いタイルを取り除いたので、床面積全体をやり直す必要があります。

あなたは細い長方形を愛していますので、$ n
$の長方形タイルの1バッチの大きなバッチを注文しました。これらを使ってフロアスペース全体をタイル化します(この非常に非現実的なバスルーム、トイレ、排水管、タイルに必要な領域には影響しません)。

あなたはどんなオーバーレイもなく浴室の床を完全にタイルで結ぶことができますか?当然できます、それはまったく困惑しませんでしたか?実際、あなたはタイリングの素早い作業をして、あなたのバスルームの床をすでにタイル張りました。

しかし、あなたの部屋では、同じ向きの$ n $タイルが完全に含まれている$ n * n
$の正方形があることに気付いたことがあります。

(ここでは、$ n = 6 $のビジュアル例を示します)。

enter image description here

(うん、正方形)

あなたは正方形が好きではないので、$ n * n
$の正方形を作らずにタイルを再描画しようとします。しかし、あなたは失敗する。何回も何回も。これは個人的な攻撃だと感じます。正方形から。

今、$ n * n
$の正方形が存在しないように、バスルームの床を完全に重なり合うことなくタイルを部分的に並べることはできませんか?

ベストアンサー

我々は使用するだろう:

矛盾による証明。

そう、

矛盾して、$ n times n $の正方形がない床タイルが存在すると仮定します。

次に、

Without loss of generality, assume the floor tile in the
top-left corner is placed vertically (looking from above). Like
this:

WLOG

そう、

we must have at most $n-1$ tiles placed vertically along the top
edge in a row. 次に、 the tile in this corner (next image) must be
placed horizontally:

Corner

ああ!今、

continuing down the side of the last vertical tile, we have at
most $n-1$ horizontal tiles. Then the tile in this corner (next
image) must be placed vertically again:

Corner again
We know that this corner exists, because there are $le n-1$
horizontal tiles, of width $1$, taking up at most $n-1$ rows, but
the vertical tiles take $n$ rows.

But 次に、

We can use some induction-y stuff (I’m not going to write it out
formally), but it is easy to see that every time you put $le n-1$
tiles, there will be another corner. This is because the last tiles
you placed were $n$ rows/columns long and $le n-1$ tiles could
only take up at most $n-1$ rows/columns, so you have to place
another tile to fill the corner.

But since the corner moves by at least $1$ row/column each step
from the tile we have to place, the corner moves out of your
bathroom and the tiles stick out of the bathroom, which is not
allowed. Contradiction.

What would happen

Q.E.D.

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