別の解剖パズル

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図は、6つのタイルでタイル張りされた六角形と三角形を示しています。これはペアで一致しています。

私の質問は:

正方形の正方形と正三角形の両方をタイルする最小の数は、タイルのすべてのエッジがタイル状の図形のエッジに平行になるようにしてください。

小さい印刷物:

  • I define a polygonal tile as a figure comprised of:

    A finite set $P$ of at least three points.

    The (straight) lines $Xpi(X)$ for each point $Xin P$ and some
    cyclic permutation $pi$ of $P$ such that distinct lines do not
    intersect except at mutual end points.

    The region contained by the lines.

  • The hexagon, triangle and tiles are assumed to include the
    vertices, edges and interior.

  • The figures tiled must be the union of exactly one congruent
    copy of each tile (though the set of tiles itself is allowed to
    contain congruent figures). No copy of a tile can share an interior
    point with the copy of any other tile, but may share boundary
    points with one or more.

  • A congruent copy of a tile may be a “flipped” version (e.g. the
    cyan tiles in the above diagram are actually mirror images of each
    other – this is allowed).

ベストアンサー

部分的な解決策:私は解決策の上限と下限を与えようとしています。

まず第一に、

三角形の面積と六角形の面積は明らかに同じですので、六角形の辺の長さが$ 1 $の場合、三角形の辺の長さは$ sqrt {6}
$です。

そのような解剖が存在するならば、それが少なくとも

3つのタイル:三角形には3つの点が含まれています(3つのコーナー)。対角に$ 2
$より大きい距離があります。これは六角形の2つの点の最大距離です。だから3人は別のタイルに入れなければなりません。

上界に行きましょう:

私は完全に間違っているかもしれませんが、実際にはこれはトリック質問だと思っています。質問に与えられたタイルセットは、実際にはお互いにフィットしないもの、または8×8四角形よく知られているトリックパズルで5×13に並べ替えることができます。

 私は線形方程式のシステムを構築しました。方程式は次のようになりました:
 1)エッジの長さは、六角形と三角形の両方で知られています。これにより、$ 9 $の方程式が得られます。
 2)「内部」エッジの長さは、2つの異なる方法で表現することができる。つまり、これらのエッジごとに1つの式があります。

 3)各タイルは偉大なポリゴンの辺の1つと平行な辺を持ちます。つまり、辺に垂直な線への投影は、辺の助けを借りて2つの異なる方法で表現でき、係数はすべて同じです絶対値では、$
cos( frac pi3)= – cos( – frac pi3)$であるためです。これにより、タイルごとに$
2 $の線形独立式が得られます。

 私は次の表記法を使用しました:
  ここに画像の説明を入力
 方程式を与えた:
 $ A1 = 1 $、
 $ F5 = 1 $、
 $ C9 = 1 $、
 $ C1 = 1 $、
 $ C2 + B7 = 1 $、
 $ E2 + A7 = 1 $、
 $ A2 = F4 $、
 $ F2 = D6 $、
 $ A3 + F3 = D5 $、
 $ A4 = D4 $、
 $ A5 = D3 + E4 $、
 $ E3 = A6 $、
 $ D2 = E5 $、
 $ F1 + E1 + D1 = 2 $、
 $ B1 + C8 = 2 $、
 $ C7 = B2 $、
 $ B3 = C6 $、
 $ B4 = C5 $、
 $ B5 = C4 $、
 $ B6 = C3 $、
 $ q = sqrt {6} $、
 $ A2 + E5 + D2 + F4 = q $、
 $ F5 + D6 + C9 + B2 = q $、
 $ B1 + A1 = q $、
 $ B7 = A7 $、
 $ B3 = C8 $、
 $ B4 = C7 $、
 $ B5 = C6 $、
 $ B6 + A6 = C5 $、
 $ A5 = C4 $、
 $ A4 = C3 + E3 $、
 $ E4 = A3 $、
 $ E2 = C2 $、
 $ D1 = C1 + E1 $、
 $ D3 = F3 $、
 $ D4 = F2 $、
 $ D5 = F1 $、
 $ A2 = A4 + A6 + A7 $、
 $ A1 = A3 + A4 + A5 + A6 $、
 $ B2 + B4 + B6 = B7 $、
 $ B1 = B3 + B5 + B7 $、
 $ C9 = C2 + C3 + C5 + C7 $、
 $ C1 + C2 = C4 + C6 + C8 $、
 $ D2 = D4 + D6 $、
 $ D1 = D3 + D4 + D5 + D6 $、
 $ E2 = E3 + E5 $、
 $ E1 = E3 + E4 $、
 $ F5 = F2 + F4 $、
 $ F1 + F2 + F3 = F5 $、
 それには解決策がありません。

この意味は

答えには6の上限もありません。さらに、私はまだそれを証明することはできませんが、私はそのようなタイリングが全くないと思っています。しかし、方程式を転記するときにいくつかの間違いを犯したこともあり、全くのトリックはありません。

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