プライム2017のプロパティに関する別のパズル

$ 2017 $は、次の3つの条件を満たす最初の素数です。

    $ p $は整数$ a、b $に対して$ a ^ 2 + 21b ^ 2 $と書くことができます。この場合、$ 2017 =
    41 ^ 2 + 21 cdot 4 ^ 2 $です。

  1. $ p $は、$ c、d $の整数に対して$ c ^ 2 + 24d ^ 2 $と書くことができます。この場合、$ 2017 =
    29 ^ 2 + 24 cdot 7 ^ 2 $です。

  2. $ p $は以下のモジュラー合同を満たす:$ p equiv 3 mod 53 $。

そのような第二のプライムは何ですか?

コンピュータを使わずにパズルを解くことができます。
1つの例外があります。数字がプライムであると思われる場合は、コンピュータを使用して確認できます。しかし、最終的な答えでは、素数チェッカーを複数回使用するべきではありません。

単純な計算機は許可されていますが、問題の解決には必要ありません。すべての計算を行う必要がありますが、比較的簡単です。ソリューションに多くの計算をする必要がある場合は、これらの計算を避けるような巧妙なものを見つけようとします。がんばろう!


2017に強く触発されています。第1プライムは3つの条件を満たす。第2は何ですか?

ベストアンサー

答えは

4561

説明:

式2を法とする 3 を見てください。正方形は0または1のモジュロ3のいずれかであるため、$ p
$は0または1のモジュロ3ですが、0は$ p $が3で割り切れることを意味しますが、これは不可能です。だから$ p equiv 1
pmod 3 $。
 同じ方程式を法則の<8>
で見ると、正方形は8を法とする0,1または4のいずれかであり、0および4は素数に対しては不可能であることを知ると、$ p
equiv 1 pmod 8 $。
 Modulo 7 、四角形は0,1,2または4なので、方程式1は$ p equiv
1,2,4 pmod 7 $が再び0にならないことを意味します。
 モジュロ7と8に関する情報を組み合わせると、モジュロ 56 、$ p
$は1、9、または25に等しい必要があります。
 これを式3と組み合わせると、モジュロ 2968 、$ p
$は1593,2017、または2865に等しくなければならないと結論づけられます。
 2865は明らかにプライムではありません。次の候補、1593 + 2968 = 4561
は仕事をします。それはプライムです。
 式1と式2を満たしていることを確認する必要があります。 ac
の可能な値の数を制限することができます。 $ 4561 = 65 ^ 2 + 21 cdot 4 ^ 2 $と$ 4561 =
55 ^ 2 + 24 cdot 8 ^ 2 $ということが分かります。

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