二分された立方体グラフを近似2色で表現するとどれくらい効果がありますか?

グラフ$ G $の2色の$ col:V_G rightarrow {0,1 } $は、$ Pr _
{(w、v)、E_G} w) neq col(v)) geq ε$である。すべての$ n $に対して、半分の立方体グラフが$
epsilon_n $ – 近似の色付け$ col_n $を持つ最大$ epsilon_n
$は何ですか?半分の立方体グラフはブール値キューブと同じ構成を使用して頂点から頂点までを得るために1の代わりに2ビットを反転させた後、2つの同一の接続されたコンポーネントのうちの1つをスローすることによって得られるグラフです。これを目撃する着色料の家族は何ですか?理想的には漸近的に近づいて、最適に近づく自然な色付けがありますか?

ベストアンサー

答えは$ epsilon_n = left( lceil frac {n} {2} rceil times
lfloor frac {n} {2} rfloor right)/ {n choose 2} $です。

まず、半分立方体グラフ$ H_n $の正式な定義を次に示します。頂点は、$ a_1 oplus a_2 oplus
cdots oplus a_n = 0 $のように、$ a_1a_2 ldots a_n
$の形式のビットストリングです。二つの頂点$ a_1a_2 ldots a_n $と$ b_1b_2 ldots b_n
$は、ちょうど2ビットが異なる場合にのみ隣接します。


次のように$ col_n $ of $ H_n $の色付けを定義します。$$ col_n(a_1a_2 ldots
a_n)= a_1 oplus a_2 oplus cdots oplus a _ { lceil frac
{n} {2} rceil} $$

一様にランダムなエッジがその2つの端点で異なる色を有する可能性を考慮する。定義から、端点がビット$ i $と$ j
$で異なる辺は、これらの2つのインデックスのうちの正確に1つが最大$ lceil frac { n} {2} rceil
$である。さらに、一様にランダムなエッジを選択すると、そのエッジの端点が異なるインデックスのペアも(すべての可能なインデックスのペアの中で)一様にランダムになります。したがって、我々が求めている確率は、一様に無作為なインデックスのペアが、あるインデックスが多くとも$
lceil frac {n} {2} rceil $である一方、他のインデックスはそうでないという性質を持つ確率に等しい。
right {left} left { lceil frac {n} {2} rceil right} frac
{n} {2} rceil times lfloor frac {n} {2} rfloor
right)このプロパティを持つ$ pairsと$ n は合計2 $ pairを選択します。したがって、私たちが探している確率は$
left( lceil frac {n} {2} rceil times lfloor frac {n}
{2} rfloor right)/ {n choose 2} = epsilon_n $。つまり、$ col_n
$の色付けは、$ epsilon_n $ – 近似の色付けであることがわかりました。


$ v = a_1a_2 ldots a_n $が頂点であり、$ i $がインデックスである場合、$ V(v、i)=
{v } cup {b_1b_2 ldots b_n |〜a_i ne b_i } $($ N(v)$は$ v
$の近傍の集合です)。 $ V(v、i)$のすべての頂点が隣接していることを示すのは簡単です。

次の手順を検討してください。

  • $ H_n $から無作為に頂点$ v $を選択します。
  • $ {1、2、 ldots、n } $
  • から無作為にインデックス$ i $を選択します。

  • $ V(v、i)$内の2つの頂点を無作為に一律に選択する
  • それらの頂点の間にエッジを出力する

This procedure samples an edge of $H_n$ with some probability
distribution. It is possible to show that every edge is sampled
with the same probability (this is somewhat annoying to prove, but
you could argue this by symmetry). Therefore, this procedure can be
thought of as a method of uniformly sampling an edge from $H_n$. We
will prove below that for any fixed $v$ and $i$, the probability
that a two random vertices from $V(v, i)$ have different colors is
always at most $epsilon_n$. Then if we sample an edge using the
above procedure, the conditional probability that the two vertices
at the third step have two different colors (given the outcomes of
the first two steps) will be at most $epsilon_n$. We conclude that
the unconditional probability is also at most $epsilon_n$. But
then we have that the probability that an edge has two different
colors at its endpoints when the edge is chosen uniformly at random
is at most $epsilon_n$. Thus, no coloring can be an
$epsilon$-approximation for any $epsilon > epsilon_n$.

残っているのは、$ V(v、i)$からの2つのランダムな頂点が最大$ epsilon_n
$の確率で異なる色を持つことを示すことです。 $ V(v、i)$に$ n $頂点があります。 $ a
$頂点がある色で色付けされている場合、異なる色を持つ$
a(n-a)$のペアがあります。したがって、色の異なる2つの頂点を選択する確率は$ a(n-a)/ {n choose 2}
$です。しかし、より近い$ a $が$ frac {n} {2} $に達すると、より大きい$ a(n-a)$が得られます。特に、$
n $ evenの場合、$ a(na)$は最大$ n ^ 2/4 = left( lceil frac {n} {2}
rceil times lfloor frac {n} } $ {$ 2} $ {$} $ {$} $ {$} $ {$}
$ { 2) left( frac {n-1} {2} times { frac {n + 1} {2} } rceil
times lfloor frac {n} {2} rfloor right)$ at $ a = frac
{n pm 1} {2} $。すべての場合、$ a(na)$の最大値は$ left( lceil frac {n}
{2} rceil times lfloor frac {n} {2} rfloor
right)したがって、$ V(v、i)$からの2つのランダムな頂点が最大$ left( lceil frac {n}
{2} rceil times lfloor frac {n} } {2} rfloor right)/ {n
choose 2} = epsilon_n $。

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