8つの同一の球が立方体内に収まる

8つの同一の球体が、1辺の長さの立方体内に収まる。これら8つの球(中央)の間に収まる球の可能な限りの半径はどれくらいですか?各球とキューブの面との間だけでなく、球の間には隙間がありません。

Sketch of the problem

ベストアンサー

  • 大きな立方体の長さは$ 1 $です。
  • 2つの接触する球体は、キューブの長さ全体に正確に伸びるので、各球体は直径$ frac {1} {2} $と半径$
    frac {1} {4} $です。
  •   

    球の間に収まる可能な最大の小さな立方体は、球の各面が球の1つに接しているようなものです。

  • したがって、小さな立方体の辺の長さは、対角線上にある2つの球の間に正確に収まる必要があります。球の対称性によって、これらの2つの球の中心間の距離は、大きな立方体の対角線のちょうど半分である。したがって、小さな立方体の辺の長さは$
    frac { sqrt {3}} {2} – frac {1} {4} – frac {1} {4} = frac
    { sqrt {3} -1} {2} $です。

これを視覚化するには、それほどうまくいかない2D画像の3Dアナログを検討するとよいでしょう。

square within cubes within square

編集:OPが小さな立方体から小さな球体に変更された後、私の答えは、小立方体の辺の長さの代わりに、小さな球体の直径を考慮する必要があることを除いて同じままです。この長さはまだ$
frac { sqrt {3} -1} {2} $です。

編集2:実際には、小さなキューブの私の答えは無効です(8つの球すべてに触れるとそれは立方体ではなく八面体になります)が、小球のバージョンはまだ問題ありません。

返信を残す

メールアドレスが公開されることはありません。 * が付いている欄は必須項目です