AAA + BBB + CCC + DDD = ABCDには、A、B、C、Dの異なる数字の解がありますか?

私は以下の和を解くように求められました:

AAA
  BBB
  CCC
  DDD
   –

  ABCD

私が見つけたのは、 111A + 111B + 111C + 111D = 1000A + 100B + 10C +
D

889A-11B-101C-110D = 0

Also that A + B + C = 10 or 20

If A + B + C = 10 –> C = D + 1
If A + B + C = 20 –> C = D + 2

ここでCとDのすべての組み合わせを試して、上記の2つの方程式にそれらを差し込んでAとBを解いてみました。整数値を与える唯一の解は、誰でも解くことができるようにマスクしましたそれは自分で):

222 + 999 + 999 + 777 = 2997

私の友人は、2文字が等しくないと主張しています。私の推論の中で何かが間違っていますか?別の解決策があるか、これが唯一の解決策ですか?

ベストアンサー

答えは:

$ A、B、C、D $がすべて異なり、$ A neq 0 $の解はありません。

理由:

あなたが$ AAA + BBB + CCC + DDD = 111(A + B + C +
D)$を書き留めたように。特に、ABCDは111の倍数でなければなりません。$ A neq 0 $以来、ABCDは$ 9 +
cdot 111 = 999 $以上$ 31 cdot 111 = 3441 $より$ A + B + C + D 9 + 8
+ 7 + 6 = 30 $である。したがって、ABCDは2桁の数字$ k leq 30 $に対して$ k cdot 111
$に等しいので$(10m + n)111 = m cdot 1000 +(m + n) cdot 100 +(m + n)
cdot 10 + n cdot 1 $。真中の2桁は等しくないので、$ m + n geq10 $を持たなければなりません。
$ m = 1 $、$ n = 9 $の場合、ABCDは2109になるので、$ A + B + C + D = 12 neq
10m + n = 19 $となります。 $ m = 2 $、$ n = 8 $の場合、ABCDは3108になるので、$ A + B
+ C + D = 12 neq 10m + n = 28 $となります。 $ m = 2 $、$ n = 9
$の場合、ABCDは3219となるので、$ A + B + C + D = 15 neq 10m + n = 29 $となります。
$ k leq 30 $と$ m = 3、n = 0 $は明らかに不可能なので、$ m leq2 $も可能です。

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