なぜゼロのC3からのゆっくりしたスパイラルは、衝動的な操作の約2.4倍のΔVを要するのですか?

I just read a fascinating comment that I don’t understand. In
part
it says

…オーバース効果はオブジェクトの質量に依存しません。ゼロのC3からの低軌道への低速スパイラルは、GMとは無関係に、同じことをする衝動的な操縦と比較して、約2.4倍のΔVを要するであろう。

この文脈は、小惑星に到着し、低推力イオン推進を使用して周回軌道に入り、軌道を下げる宇宙船(この場合はDAWN)に関するものです。

しかし、私は2.4のコメントの要素を全く理解していません。事実、私はC3を小惑星からの脱出速度以上の超過v2と考えていますが、私は宇宙船をどこに置くべきか、どの方向にどのくらい速く移動するのかは分かりません。
ODEソルバーと衝動的なソリューション。

誰かがこのコメントの背後にある前提と私が〜2.4の要素に到達するために必要とするステップを通って私を歩くことができますか?

ベストアンサー

あなたが円軌道を走っているなら、速度は$ sqrt { mu over r} $です。その距離でのエスケープ速度は$
sqrt {2 mu over r} $です。だから、その軌道から始まる脱出速度に達するための衝撃的な$ Delta
V $は、それらの2つの違いです:

$$ Delta V_ {ei} = left( sqrt 2-1 right) sqrt { mu
over r} $$

今、我々は軌道の速度方向に微小量を押すことによって逃げる。これは、軌道を円形に近づけないように、時間の経過と共に半径を単純に増加させます。
$ dr $は$ dv $の関数として計算できます。そして、そのトリックは収束した$ r $から$ infty
$までの閉じた形式で統合することです!これは統合された、段階的な$ Delta V $を逃れるためのものです:

$$ Delta V_ {eg} = sqrt { mu over r} $$

漸進的なインパルスの割合は次のとおりです。

$$ {1 over sqrt 2-1} = sqrt 2 + 1 approx 2.4 $$

詳細については、こちらをご覧ください。

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