FOLで書かれた理論を、条件付き等価論理とブール代数を使った同等の理論に変換することは可能ですか?

私はファーストオーダーロジック(FOL)の仕様方法(例: CASL )と等価ベースの仕様(例: CafeOBJ
)。私の質問は:

FOL理論同等のに変換することは、条件付き方程式を含む方程式理論とブール代数(Boolean
Algebra)
からなる理論を使用していますか?

同等のとは、両方のロジックの理論が同じクラスのモデルを示す必要があるということです。意図されるモデルは、述語をブール値関数として含む代数である。ブール代数は通常の論理演算子を含み、命題論理として解釈することができます。この結合されたロジックを呼び出すことができます。
CEQL + BOOL 、実際には論理です。  CEQL +
BOOLはSkolemの機能を認めています。 CEQLでは、すべての変数は普遍的な数値であると想定されています。
$(t_1 = t’_1 land dots land t_n = t’_n) Rightarrow(t_0 =
t’_0)$と表記された条件式では、条件$(t_1 = t’_1 land dots その結果の$(t_0 =
t’_0)$に現れない$は、FOLの文脈で現存するように定量化されていると見ることができる。例えば:

$(x times y = 1) Rightarrow(x times x ^ { – 1} =
1))$(暗黙の普遍的な定量化)

式と等価です

$ forall x:(は存在するy:(x times y = 1)) Rightarrow(x times x
^ { – 1} = 1))$

通常の1次論理で  条件付き等価ロジックは、 等価ロジックは、両方ともFOLのサブロジックです。

以下の例では、 Theory 1(FOL)で記述されたモデルを Theory
2(CEQL +
BOOL)
を使用して記述できることを示しています。私は各ロジックで定理1
を証明しようとします。これらの証明が実際に同等のモデルの証拠を提供しているかどうかはわかりません。両方の論理の文が同じ定理を持つことを示すことができれば、それらは同じモデルの集合を持つという十分な証拠ですか?もちろん私のアプローチ、例、変容と校正には欠陥があるかもしれません。

Theory 1 (FOL) uses FOL notation and
Theory 2 (CEQL+BOOL) uses (CEQL+BOOL) notation to
describe relation $R$. My intention is that Theory
1
and Theory 2 should describe the same
class of models. I provide Theorem 1 on
reflexivity which I attempt to prove separately in each logic.
Using the theorem prover Prover9 I can prove that if
Theory 1 (FOL) holds then so does Theory 2
(CEQL+BOOL)
, but not vice versa.

Theory 1 (FOL) First order theory for relation
R.

[対称性] $ forall x、y:((R〜x〜y) Leftrightarrow(R〜y〜x))$

x、y、z:((R〜x〜y)ランド(R〜y〜z)) Rightarrow R〜x〜z)$

[存在] $ forall x が存在するy:(R〜x〜y)$

Theory 2 (CEQL+BOOL) Relation R expressed in
CEQL+BOOL

[対称性] $(R〜x〜y)=(R〜y〜x)$

(R〜x〜z = top $){Right〜(R〜x〜y)

[存在] $(R〜x〜skolem(x))= トップ$

Theorem 1: show that R is reflexive: $vdash
(R~x~x) = top$

Proof of Theorem 1 using
CEQL+BOOL

begin{align*} &~~~~{text{Transitivity Axiom}} \
&(1)~~~~((R~x~y) = top) land ((R~y~z) = top) Rightarrow
(R~z~x = top)\ & text{ {Substitution, z = x }} \
&(2)~~~~((R~x~y) = top) land ((R~y~x) = top) Rightarrow
(R~x~x = top)\ &= text{{Symmetry Axiom at term (2.1.1)}}
\ &(4)~~~~((R~x~y) = top) land ((R~x~y) = top) Rightarrow
(R~x~x = top)\ &= text{{Substitution, y = skolem(x) }}\
&(5)~~~~((R~x~skolem(x)) = top) land ((R~x~skolem(x)) = top)
Rightarrow (R~x~x = top)\ &= text{{Existance axiom }} \
&(6)~~~~(top land top)Rightarrow (R~x~x = top)\ &=
text{{ Boolean Algebra: Idempotency of $land$}}\
&(7)~~~~top Rightarrow (R~x~x = top)\ &=
text{{Boolean Algebra: Left identity of $Rightarrow$}}\
&(8)~~~~(R~x~x = top) end{align*}

Proof of Theorem 1 using using
Natural deduction in FOL

普遍的な性質を証明するためには、任意のオブジェクトとして$ fbox {a} $を持つ$ forall $
-Intro副証明を設定する必要があります。また、存在を排除するために$ fbox {b} $が必要です

Formal proof of $forall x (R~x~x)$ begin{array} {rll} (1) &
forall x,y,z ((R~x~y) land ((R~y~z)Rightarrow (R~x~z))) &
text{(Premise: Transitivity)} \ (2) & forall x,y (R~x~y
Rightarrow R~y~x) & text{(Premise: Symmetry)} \ (3) & forall x,
exists y R~x~y & text{(Premise: Existence)} \ (4) & | quad
fbox{a} & text{(Set up for universal introduction)}\ (5) & |
quad exists y (R~a~y) & text{($forall$-elim 3)}\ (6) & | quad
| quad fbox{b}~(R~a~b) & text{(Set up for existential
elimination)} \ (7) & | quad | quad (R~a~b) Rightarrow (R~b~a)
& text{($forall$-elim 2)} \ (8) & | quad | quad (R~b~a) &
text{($Rightarrow$-elim 6,7)} \ (9) & | quad | quad R~a~b
land R~b~a & text{($land$-Intro 6,8)} \ (10) & | quad | quad
R~a~b land R~b~a Rightarrow (R~a~a) & text{($forall$-elim 1)}
\ (11) & | quad | quad R~a~a & text{($Rightarrow$-elim 9,10)}
\ (12) & | quad R~a~a & text{($exists$-elim 5,6-11)} \ (13) &
forall x (R~x~x) & text{($forall$-intro 4-12)} \
end{array}

この質問は、数学に関する私の前の質問の一般化ですフォーラム。

ベストアンサー
申し訳ありませんが、適切な答えはありません

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