$ L = SL $から$ L = NL $に至るまでの障害とは何ですか?

$ L = SL $が特殊な頂点$ s $と$ t $を持つ( U
のndirectedグラフで) Con
であるかどうかをUSTCONのためのアルゴリズムを与えるOmer Reingoldの証明?
)を使用します。基本的な考え方は、元のグラフからエキスパンダーグラフを作成し、展開グラフでウォーキングを行うことです。エクスパンダグラフは、元のグラフを対数的に何度も二乗することによって作成されます。エキスパンダーグラフでは、直径は対数しかないので、対数奥行きのDFS検索で十分です。

結果を$ L = NL $に拡張すると、DSTCONのログスペースアルゴリズムが存在することを暗示します。これは、同じですが、
D の迂回グラフです。
(時には単にSTCONです。)私の質問は、ちょっと柔らかいかもしれませんが、レインゴールドの証拠をそれに拡張する主な障害は何ですか?

一種の「有向エキスパンダー」グラフがあるはずです。中位の方向のパスに対応する辺を追加し、次に長いものに対応する辺を追加する同様の構造です。短いパスを横切って長いパスに移動することで、対数的な深さのグラフをトラバースすることができます。最後に短いパスに戻ります。

このコンセプトに重大な欠陥がありますか?あるいは、そのようなエキスパンダーの良い構造がないのでしょうか?あるいは、何とか無修正バージョンよりも多くのメモリを必要としますか?

I unfortunately cannot find much at all on directed expander
graphs. In fact essentially all I could find was
https://math.stackexchange.com/questions/2628930/how-can-one-construct-a-directed-expander-graph-with-varying-degree-distribution

(which is unanswered) and https://repository.upenn.edu/cgi/viewcontent.cgi?article=1202&context=cis_papers
. Is there a different term I should be searching under?

ベストアンサー

中心的な問題は、有向グラフでは、本当にランダムウォークであっても、期待される多項式時間内にすべての頂点にヒットしないことです。ここでの標準的な反例は、$
n $頂点を左から右へと並べた有向グラフです。各頂点は、右端の頂点(右端の頂点$ t
$を除く)につながります。各頂点には、最前面の頂点$ s $に至る途中で終わっています。ランダムウォークで$ s $から$ t
$に到達するには、$ 2 ^ n $時間かかる。それで、Reingoldが$
USTCONのためにしたのと同様に、私たちが逆ランダム化を望んでいる、指示された接続性のための小空間ランダム化アルゴリズムは何ですか?
(別の言い方をすれば、$ RL = NL $はどうやって$ L = NL
$を表示するのでしょう?)有向接続についてはもちろんSavitchのアルゴリズムがありますが、$ O( log ^ 2
n)$空間一般的なグラフでは、誰もランダム性の有無にかかわらず、半世紀にわたってそれを改善することはできませんでした。

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