$ n $ビットW状態の「頑健性の魔法」の計算

質問

$ n $キュビット以上の$ W $状態の漸近的な頑強さは何ですか?それは$ Theta(n)$ですか? $ オメガ(
sqrt {n})$? $ O left( frac {n} { lg n} right)$?

背景

$ W $
statesは、ちょうど1つの量子ビットがONであり、測定された場合、すべての量子ビットがONになる可能性が等しいエンタングル状態です。例えば、$
W_3 = frac {1} { sqrt {3}} left(| 100 rangle + | 010
rangle + | 001 rangle right)$です。

「フォールトトレラント量子コンピューティングへの魔法状態のリソース理論の適用」、Howard
andキャンベルは、量子状態$ rho $を「魔法の頑強性」と呼ばれるコスト$ R(
rho)$に関連付け、以下のように定義します。

$$ R( rho)= min_x sum_i | x_i |; rho = sum_i x_i
sigma_i $$

ここで、各$ sigma_i
$は、スタビライザ回路(すなわち、H、S、CNOTおよび測定ゲートのみを使用する)によって準備できる状態である。言い換えると、あなたは、あなたの希望する状態を作り出す安定化状態の加重組み合わせを見つけようとします。そうする間に最小にするコストは、加重の大きさの合計です。そのようなコストの最小は、状態の魔法の頑強さです。

私が試したこと

$ n $ -qubit $ W $状態の私が見つけた最高得点の分解は次のとおりです。

$$ s_ {j、k} = X_j cdot text {CNOT} _ {j rightarrow k}
cdot H_j cdot | 0 rangle $$

$$ S_ {j、k} = s_ {j、k} cdot s_ {j、k} ^ dagger $$

S_ {j、k} は次のように定義されます。$ w_n = left( sum_ {j-0} ^ {n-1}
sum_ {右)+ 左( sum_ {j = 0} ^ {n-1} frac {2-n} {n} | j rangle
langle j | right)$$

これはコストを達成する$ frac {1} {n} cdot frac {n(n-1)} {2} + frac
{n-2} 2} n- frac {5} {2} $である。

大きなW状態を生成するために私が知っている最良の回路構成は、$
Theta(n)$のような比例のT-カウントを持っています。たとえば、$ n $が2の累乗である場合、$ 2n-4 $
Tゲートを使用して$ W_n $状態を作成する方法を示す構成の例を次に示します。

preparing a W_8 state

あなたが$ 2n-4 $ T-カウントをベストプラクティスの魔法と潜在的な頑強性と比較したいのであれば、あなたが分解したら、$
| T rangle $ stateの頑強さは$ sqrt {2} $($ 1
$ではない)という事実を説明しなければなりません。

明らかに、より良い分解能を見つけようとするのは、魔法の頑強さを上回る妥当な方法ですが、この戦略は決して下限を決して作りません。この種の問題の下限を下すためには、どのような戦略
が有効ですか?

ベストアンサー

R(W_n) in Omega( sqrt [4] {n})$という証明があります。

$ W_n $状態が与えられれば、Clifford演算と1つの追加Tゲートを持つ$ lg n $
$状態を作ることができます。基本的に:

  1. バイナリインデックスの奇数が1であるすべてのキュービットを一緒にXORし、そのxorの値にTゲートを適用してから解除します。
  2. バイナリインデックスが4の倍数より2または3の1の数を持つすべての量子ビットにSゲートを適用します。
  3. バイナリインデックスが1の数が4、5、6、または7の8の倍数を超えるすべてのキュビットにZゲートを適用します。
  4. 単項の$ W_n $状態をバイナリレジスタに圧縮します。

Here’s an example circuit turning $W_8$ into 3
$|Trangle$ states
:

W_8 to 3 T

また、 $ W_ {16} $を回す4 $ | T rangle $
states
に変換します。

我々は、$ W ln $状態と$ T $状態から$ lg n $
T状態を生成することができる。出力の魔法の頑強さが入力の頑強さと等しいかそれより小さい場合は常にそうでなければならない。したがって:

$ $ R(W_n) cdot R(T) geq R(W_n otimes T) geq R(T ^ { o
lg n})$$

論文では、「フォールトトレラント量子コンピューティングへのマジックステートのリソース理論の適用」で実証されています(3ページ参照):

$$ R(T ^ { otimes k}) in Omega(1.2 ^ k)$$

意味は$ R(W_n) cdot R(T)$は漸近的に$ 1.2 ^ { lg n} $下回るもの以上である。 $
R(T)$は定数なので、無視して推論することができます:

$$begin{align} R(W_n) &in Ω(1.2^{lg n}) \&= Ω(n^{lg
1.2}) \&subset Ω(n^{0.263}) \&subset Ω(sqrt[4]{n})
end{align}$$

したがって、$ R(W_n)$は漸近的に$ sqrt [4] {n} $(Tsに合成することによって)と$ n
$(私が質問で示した分解を介して)の間にあります。

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