ジョイントPOVMを補完する?

私は集合理論の概念をPOVMに関連づけようとしています。最初に、設定理論とPOVM設定のシナリオについて説明します。

いくつかの有限の$ N in mathbb {N} $に対して、$ i = 1、…、N $に対して$ A_i $と$
B_i $をセットとし、$ A_i subset C、B_i すべての$ i $のサブセットC $。 $ J =
{1、…、N/2 } $(ちょうど$ N $を取る)を計算したいと思います $$ left( bigcup_ {i
in J} A_i times B_i right)^ c。$$

De Morganの法則では、$$ left( bigcup_ {i in J} A_i times B_i
right)^ c = bigcap_ {i in}}(A_i times B_i)^ c = bigcap_ A_i
^ C times B_i cup A_i times B_i ^ c cup A_i ^ c times B_i
^ c $$

今私はPOVMのために同様のことをしたいと思います。たとえば、$ A = {A_1、…、A_N } $と$ B =
{B_1、…、B_N } $という2つのPOVMがあるとします。

どちらのPOVMでも、サブセットの補集合を定義する方法は明らかです。たとえば、$ {A_2、A_3 }
$の補数が必要な場合は、$ mathbb {1} – A_2 – A_3 $を実行できます。私の解釈は、$ mathbb
{1} – A_2 – A_3 $は$ A_2 $または$ A_3
$を除くすべてのイベントを包含しています。ここでは、ジョイント測定の補完を定義したい(または既知の補完を与える)必要があります。

$ J = {1、…、N/2 } $があるとしましょう。$ J
$以上で索引付けされた合計関節測定値の補数を求めたいとします。つまり、私は何らかの形で定義したい

$$ left( sum_ {i in J} A_i otimes B_i right)^ c $$

私の最初の考えは、

^ $ = mathbb {1} – sum_ {i in J} A_i otimes B_i $$($ sum
left( sum_ {i in J} A_i otimes B_i right)

しかし、これは$ bigcup_ {i in J} A_i ^ c times B_i ^ c
$のアナログのみを包含し、$ A_i ^ c times B_i $と$ A_i times B_i ^ c
$のアナログを欠いている。

それからデ・モルガンのセンスで

^ c = prod_ {i J}(A_i otimes B_i)^ c = prod_ {i in
J}( ( mathbb {1} -A_i) otimes B_i + A_i otimes( mathbb {1}
-B_i)+( mathbb {1} -A_i) otimes( mathbb {1} -B_i)$$

これは論理的だと思いますが、私はそれが本当だと自分自身で確信していません。誰も同じようなシナリオを持っていましたか?

あなたの時間をありがとうと申し訳ありませんが、質問が明確でない場合。

ベストアンサー

私が書いたように、補完の定義はPOVMにとって意味をなさないという結論に至りました。
2つの要素の積は、同時の事象であり、偽であると仮定している。

私が見つけたのは、私が確率を扱っているからです。私にとっては、これは “失敗”イベントでした。私は自分の考えを1 –
「成功」に変えてしまい、補完物を使う必要はありません。

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