$ Sigma Pi Sigma Pi(2、r)$ – 回路について

アンケートで理解しているように、「多項式同定テストの進捗状況 – II」 $ Sigma Pi
Sigma Pi(2、r)$に対するPITを解くための多項式時間アルゴリズムは不明である。

However, there exists paper of Ankit Gupta “Algebraic Geometric Techniques for Depth-4
PIT & Sylvester-Gallai Conjectures for Varieties”
that gives a
polynomial-time algorithm for this case modulo the following
conjecture from this paper.

Conjecture Let $F_1, F_2, ldots, F_k$ be
finites sets of irreducible polynomials in $mathbb{C}[x_0, ldots,
x_n]$ of degree at most $r$ such that $ cap F_i = varnothing$ and
for every $Q_1, ldots , Q_{k-1}$ from distinct sets there are
polynomial $P_1, ldots, P_c$ in the remaining set such that
$V(Q_1, ldots, Q_{k-1}) subseteq cup_i V(P_i)$. Then
$text{trdeg}_{mathbb{C}}(cup_i F_i) = lambda(k,r,c)$ for some
function $lambda$.

この推測は$ Sigma Pi Sigma Pi(k、r)$に対するPITの多項式時間の存在を示します。 私が$
k = 2 $について理解しているように、この推測は成り立ちます。最初に注意してください いくつかの$ j $について、$
V(Q_1) subseteq cup_i V(P_i)$は$ V(Q_1) subseteq
V(P_j)$を意味する。確かに、Nullstellensatz $(P_1 cdot P_2 ldots cdot
P_c)^ m = Q_1 cdot H $は、いくつかの$ m $と$ H $に対してです。 $ Q_1
$は既約でないため、これは$ P_j $を$ Q_1 $で割ったものです。

ですから、今度は既約多項式$ F_1 $と$ F_2 $の2つの集合があり、この集合の1つから$ F_1 cap F_2 =
varnothing $となり、$ P $には$ V(P) subseteq
V(Q)$である。もちろん、これは両方のセットが自明であることを意味します。

したがって、$ Sigma Pi Sigma Pi(2、r)$ –
回路に対してPITを解く多項式時間アルゴリズムが存在します。

私が間違っている?

ベストアンサー
申し訳ありませんが、適切な答えはありません

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