k-setカバーの定義

I’m trying to understand the sparsification lemma by Impagliazzo, Paturi and Zane (IPZ) (from this article) and in their proof they reduce the k-SAT problem to the k-set cover problem. But their definition of the problem seems to be different from the definition found in other articles where the problem is simply the normal set cover with the addition that each set is limited to contain a maximum of k elements from the universe, as can be seen in eg. this description from Führer and Yu (taken from this article): この問題の解決策は、ユニオンが宇宙をカバーする一連の集合で構成されます。しかし、IPZはこのように問題を述べています。 その解決策は、$ mathscr {S} $の S の各集合から少なくとも1つの要素を含む集合 C として定義されます。セットのコレクションは必然的に宇宙をカバーしているとは言えません。サイズの C を見つける| $ mathscr {S} $ |最小の C を見つけることは、可能な限り最良の方法で$ mathscr {S} $から異なるセットに重なる要素を見&#x30

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Kセットよりわずかに多いカバレッジ問題の近似

Max-Coveragの定義 マックスカバレッジ問題では、地面集合$ {1、2、 ldots、n sath}の mathcal {S} = {S_1、S_2、 ldots、S_m } $と数字$ K $を使用します。目標は、以下のようなサブセット$ mathcal {S} ‘$ of $ mathcal {S} $を選択することです。 $ mathcal {S} $の$ K subsetsが選択されます。つまり、$ | mathcal {S} ‘| leq K $、 対象となる要素の数が最大になっています。 問題を正確に解決するのはNP困難です。しかし、 “カバーされていない”要素の最大数を含む集合を反復的に選択する貪欲なアルゴリズムは、タイトな $ 1-1/e $近似を与える。つまり、$ P = NP $以外の多項式時間アルゴリズムは、$ 1-1/e $近似よりも良い結果を得ることができません。 Link: Max coverage on Wikipedia 私の質問 硬度の結&#x6

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最適な相乗作用を有する集合パッキングの発見の複雑さ

Motivation: While developing tools for fast execution of machine learning workflows, we realized that many workflows require intermediate results — sometimes we should cache these results, and sometimes we should recompute them from scratch. 中間結果の最適なセットを決定する問題を軽減して、次の非常に自然な問題にキャッシュすることができました。私はそれを相乗的セットパッキングと呼んでいます。 Problem: We are given a universe of $m>0$ elements $U = {e_1, e_2, ldots, e_m}$, as well as a function $c : Urightarrow mathbb{Z}^+$ which maps each element to some positive integral cost. We are furthermore given a collection $mathcal{C}$ containing $n>0$ nonempty subsets of $U$; $mathcal{C} = {S_1, S_2, ldots, S_n}$. Finally, we are also given a function $p : mathcal{C} rightarrow mathbb{Z}^+$ which maps each $S_i$ to some positive payoff. 私たちの目標は、 payoff – cost の利益関数を最大化する$ X subseteq U $を選択することです。 $$ left( sum_ {e_j in X} c(e_j) right) left( sum_ {S_i in mathcal {C} text {S_i subseteq X} $$ つまり、$ S_i in mathcal {C} $のすべての要素を選択すると、$ p(S_i)$という結果が得られますが、&#x305

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倍音を用いた代替集​​合カバーアルゴリズム

次のように動作する貪欲なセットカバーアルゴリズムの代替案を見たことを思い出します。 ユニバース内のすべての要素にウェイト1を割り当てます。宇宙がカバーされるまで、手順2と3を繰り返します: 含まれているすべての要素の重みの合計が最大であるセットを選択します。 明らかにされていないすべての要素の重みを2倍にします。 私はlog(n)近似であったことを覚えていますが、私はそれをどのように表示するかわかりません。この種のアルゴリズムには、すべての要素の適切な全体的な重み付け/コストが近似保証を与えることができる既知の技法が&#x

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優先順位制約を持つ一般化最小集合カバー問題が研究されていますか?

[ Bansal、Gupta、Krishnaswamy ] Sungjin Im、Viswanath Nagarajan、Ruben van der Zwaan はMin Sum Set Coverの問題とその 一般化。私は、要素に優先順位の制約が追加されている、つまりelement_iがelement_jの前にスケジュールされていなければならない場合に、この問題の拡張に関する作業があるのだろうか?あらゆる方向性は大きな助けになるでしょう。 部分次数制約$ P = {P_1、… P_m } $を持つ要素$ E = {e_1、… e_n } $の宇宙が与えられます。$ P_j:e_a preceq e_b $とaサブセット$ S = {S_1、S_2、.. S_l } $と$ S_i subseteq E $と各セット$ S_i $は、カバー条件が$ K(S_i)$です。目的は、集合の平均被覆時間が最小になるように(すべての要素が選択されるまで)一度にE $内の1つの要素$ e_k を選択することであり&#x30

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セットの代わりにカバーを設定する

私はこの午前のコードジャムで問題Cを見てこの質問をしました: サブセット$ {S_i ^ 0、S_i ^ 1 } $、$ S_i ^ j subset Sのセット$ S $と$ N $ ペア 各ペアから1つのサブセットで構成された$ S $のカバーが存在しますか?つまり、$ S = cup_i S_i ^ { alpha_i} $で {0,1 } ^ N $にアルファベットが存在するのでしょうか? この質問に答えるための多項式時間アルゴリズムはありますか?それはネットワークフロー “におい”があり、それはおそらく標準的な問題のようですが、私はセットカバーに関連する問題のリストを見て見つけることができませんでした。 ベストアンサー これは CNF – SAT を参照してください。 CNF-SAT $ 〜$あなたの問題: 添え字は変&#x

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正確なセットカバーが存在することが分かっている場合にセットカバーを近似する

$ U = {1、2、 cdots、n } $は宇宙であり、$ mathcal S = {S_1、S_2、 cdots、S_m } $は各セットが正確に$ c $要素。$ c $は定数です。 この場合、$ c $ – 近似は簡単です。それを改善することも可能です。 $ ln c + 1 $ – 近似である。 私の質問は次のとおりです: この特別なセットカバーインスタンスとともに、正確なカバー(サイズ$ n/c $)が存在すると言われます。より良い近似係数を得ることは可能ですか?この場合の近似の硬さについては何が分かっていますか? ベストアンサー 申し訳ありませんが、適切な答えはありません

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