スパニングツリーの最小問題に対する純粋なスペクトルアルゴリズム

There are many algorithms that address the MST problem, from classical (Boruvka, Prim, Kruskal), optimal (Pettie et al.) to their distributed variants (Bader et al.). しかし、MSTの適切な表現(例えば、MSTのエッジ、隣接性またはラプラシアン行列)に代数的に到達するためにスペクトル特性を使用する可能性があるアルゴリズムへの参照を見つけることはできない。 それらが存在しない理由は何ですか?そのようなアルゴリズムや根拠はありますか? ベストアンサー 申し訳ありませんが、適切な答えはありません

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接続された2部グラフの隣接行列の固有値

$ G =(V、E)$は、二分木の両側に同じ数の頂点を持つ接続されたd-規則二部グラフです。その隣接行列の最大固有値はdであり、最小値は-dであることが知られている。 もしk番目の最大固有値が$ lambda_k $ならば、k番目の最小固有値が$ – lambda_k $であるということが本当かどうか疑問に思っていました。 私はこれが2番目に大きい固有値(2部グラフの両側にあるすべてのものとインジケータが最大と最小の固有ベクトルであり、固有値が多重度1であり、サインフリップトリックを適用する)。しかし、この証拠は一般的には保持されていないようです。 ベストアンサー 申し訳ありませんが、適&#x

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二分木幅の上限を持つ通常のグラフの区画

グラフの頂点の総数、または通常のグラフの別の非スペクトル量(直径、周囲長、…)の観点から、双対幅の上限を保証した効率的なグラフ分割アルゴリズムはありますか? Most of the bounds I find in the literature are spectral (like Cheeger inequalities and other bounds on the algebraic connectivity). One could combine these bounds with bounds on the spectrum itself, such as the one in this article, to bound something like the sparsest cut, but this approach provides no guarantees with respect to the actual width of the cut (or maybe it does and it is just not clear to me?). A (loosely) related upper bound is that the bisection width of cubic graphs with $n$ vertices is at most $(frac16+epsilon)n, epsilon>0$ (from this paper). Are there similar worst-case bounds for heuristic bipartition algorithms? ベストアンサー 申し訳ありませんが、適切な答えはありません

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なぜスペクトル超音波診断装置は木である必要があるのですか?

$ n $頂点と$ m $辺を持つグラフ$ G $が与えられた場合、$( kappa、h)$ – 超疎結合$ H $は同じ頂点集合のグラフです: $ H $は、スパニングツリー$ T $と$ frac {hm} { kappa} $ off-treeエッジで構成されています。 $ L_G preceq L_H preceq kappa L_G $、 ここで、$ L_O $はラプラシアンの$ O $のグラフを示す。ラプラシアン系の方程式の線形システムを解くことについては、樹木の木構造が重要であると考えています。これは、これらを線形時間で解くことができるからです。しかし、私はこれが正しい結論であるかどうかを知りたいと思うだろうか? [1] Daniel Spielmannによると ベストアンサー 申し訳ありませんが、適切な答えはありません

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大きな等尺数のグラフの代数的接続性

私はMOにこの質問をしましたが、答えはありませんでした。 $ G =(V、E)$を最大次数$ Delta $の無向グラフとする。 $ i(G)$で示される$ G $の等尺度数は、以下の式で定義されます。 $$ i(G)= min_ {| S | leq | V |/2} frac {e(S、 bar {S})} {| S |}、$$ ここで$ e(S、 bar {S})$は$ S $とその補集合$ bar {S} $の間の辺の数です。 Cheegerの不平等はそれを主張します: $$ frac { lambda_2} {2} leq i(G) leq sqrt { lambda_2(2 Delta- lambda_2)}、$$ ここで$ lambda_2 $はラプラシアン行列$ L = D-A $($ G $の代数的接続性とも呼ばれます)の2番目に小さな固有値です。一般に、$ i(G)$は$ frac { lambda_2(G)} {2} $から遠く離れていてもかまいません。例えば、$ C_n $が注文$ n $のサイクルである場合、$ i(C_n)= オメガ( frac {1} {n})$と$ lambda_2(C_n&#xFF

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非アーベル群のCayleyグラフのスペクトル

Cayleyグラフのスペクトルの主題には大きな関心があるようです。実際、スペクトルは非常に関連しているか、またはグラフ内の基礎となるグループの既約表現を使って計算されているように見えますが、そのような計算の一般的な公式を見つけることはできません。例えば、Cayleyグラフのスペクトルに関する古い論文は、 http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/0095895679900790 は固有値の合計を計算しているようです。 特に、私は対称であるが普通の生成集合ではない対称群の特定のCayleyグラフの最大と最小の固有値を計算することに興味がある。上記は、このようなことをする唯一のツールですか?&#

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有向グラフのスペクトルの2分法

対称行列に対応する無向グラフのスペクトルと比較すると、有向グラフのスペクトルはあまりよく知られていません。 有向グラフ$ G =(V、E)$は隣接行列$ A(G)$を持つことが知られており、その固有値は$ G $がa-cyclicであればバイナリ$ {0,1 } $です。 これは、頂点を強く接続されたコンポーネントにソートすることによって行われます。これにより、頂点$ v_1、..、v_n $の列挙が固定され、この順序に従って並べ替えられたラプラシアンは$ 0/1 $エントリで上三角形になります。 しかし、$ G $が他の極端なものであると分かっているもの、つまり$ G $は$ n $頂点の強連結グラフです。つまり、任&#x610F

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よく接続されたグラフのスパースカット近似

Theorem: For any graph $G=(V,E)$, there is a polynomial time algorithm that finds a cut $S subseteq V$ with conductance at most $sqrt{2big(1 − lambda(G)big)}$. UGC が正しく理解されていれば、上記の結果はUGCの一般的なグラフでは厳しいものです。 Question: Can we obtain a better approximation if we have the promise – $mincut(G) = O(log n )$? ベストアンサー 申し訳ありませんが、適切な答えはありません

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