フーリエ – モチキン除去における二重指数関数の上限値への到達

フーリエ – モチキン除去の1ラウンドは、$ n ^ 2/4 $不等式を生じさせ、$ n $は線形不等式の元の数であり、$ n
^ {2 ^ d}/2 ^ {2 ^ {d冗長な制約を取り除かずに$ d $回の除外を行うことができます。

私はそれがこの上限を満たすことが可能かどうか疑問に思っています。

(注:投影における真の顔の数をカウントすることとは別の問題です。つまり、拘束条件を取り除いた後で、McMullenの上限がより厳しい境界を提供します)。

ベストアンサー

私はこの上限が厳しいと思います。一例として、以下のシステム

begin{align*} +x_0 & +frac{1}{2} x_1 +frac{1}{4} x_2 le 0 \
+x_0 & +frac{1}{2} x_1 +frac{1}{4} x_2 le 0 \ +x_0 &
+frac{1}{2} x_1 +frac{1}{4} x_2 le 0 \ +x_0 & +frac{1}{2} x_1
+frac{1}{4} x_2 le 0 \ -x_0 & +frac{1}{2} x_1 +frac{1}{4} x_2
le 0 \ -x_0 & +frac{1}{2} x_1 +frac{1}{4} x_2 le 0 \ -x_0 &
-frac{3}{2} x_1 +frac{1}{4} x_2 le 0 \ -x_0 & -frac{3}{2} x_1
-frac{7}{4} x_2 le 0 \ end{align*}

それには8つの不等式があります。それらのいくつかは同一ですが、冗長な制約を削除しないので問題にはなりません。ダミー変数を追加してそれらを異なるものにすることもできます。
$ x_0 $を減らすと、16の不等式を持つシステムが得られます。次に、$ x_1 $を減らすと、$ 64
$の不等式を持つシステムが得られます。

More generally, let $S_{n}^k$ denote the following system of
inequalities over $x_0, x_1, ldots, x_{k – 1}$. Here we assume
that $k le n, nge 2$. There will be $2^n$ inequalities in $S_{n}^
k$. Take any $m in{1, 2, ldots, 2^n}$. Let $m^{th}$ inequality
of $S_{n}^ k$ be $$alpha^m_0 x_0 + ldots + alpha^m_{k – 1} x_{k
– 1} le 0,$$ where $$alpha^m_i = begin{cases} 2^{-i} & mbox{if
$m le 2^n – 2^{n – i – 1}$}, \ -2 + 2^{-i} & mbox{otherwise.}
end{cases}$$

ここでは上記の制約を使用します。$ k le n $を指定すると、$ 2 ^ {n – i – 1}
$は整数になります。

For example, system above is $S_{3}^3$. It is easy to verify
that if we eliminate $x_0$ from $S_{n} ^k$, we obtain $S_{2n – 2}
^{k – 1}$. Indeed, when we eliminate $x_0$, we add up all the
inequalities from the first half with all the inequalities from the
second half. Thus we get $2^{n – 1} cdot 2^{n – 1} = 2^{2n – 2}$
inequalities. What happens with $x_i$ for $i > 0$? In the first
$$2^{n – 1} cdot (2^{n – 1} – 2^{n – i – 1}) = 2^{2n – 2} – 2^{2n
– 2 – i} = 2^{2n – 2} – 2^{(2n – 2) – (i – 1) – 1}$$ inequalities a
coefficient before $x_i$ will be $2^{-i} + 2^{-i} = 2^{-(i – 1)}$.
In the last $2^{-i} + (-2 + 2^{-i}) = 2^{(2n – 2) – (i – 1) – 1}$
inequalities a coefficient before $x_i$ will be $2^{-i} + (-2 +
2^{-i}) = -2 + 2^{-(i – 1)}$. This is $S_{2n – 2}^{k – 1}$, but
over variables $x_1, ldots, x_{k – 1}$. Since, $2n – 2 ge n – 1
ge k – 1$, a restriction on the number of variables is also
preserved.

さらに、$ x_1 $を取り除くと$ S_ {4n – 6} ^ {k – 2} $が得られます。 $ d $
stepsの後に$ S ^ {k – d} _ {2 ^ d n – (2 ^ {d + 1} – 2)} $があります。後者は厳密に
(2 ^ {d + 1} – 2}} = N ^ {2 ^ d}/2 ^ {2 ^ {d + 1} – 2} $$ 不等式は、$ N
= 2 ^ n $は初期システムの不等式の数です。

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